ประพจน์

หมีประพจน์ หมี

ประพจน์คือข้อความที่มีค่าความจริงเป็น “จริง” หรือ “เท็จ” เพียงอย่างเดียวเท่านั้น โดยทั่วไปแล้ว ประพจน์จะอยู่ในรูปของประโยคบอกเล่า หรือ ประโยคปฎิเสธ ยกตัวอย่างเช่น มนุษย์เป็นสิ่งมีชีวิต และ แมวไม่สามารถบินได้ ซึ่งทั้งสองปะพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นจริง

ข้อสังเกตข้อความที่เป็นประโยคคำถาม ประโยคคำสั่ง ประโยคขอร้อง คำอุทาน จะไม่ถือว่าเป็นข้อความที่เป็นประพจน์ยกตัวอย่างเช่น ใครทำหนังสือขาด ห้ามเดินลัดสนาม ได้โปรดอย่าทิ้งผมไป คุณพระช่วย เป็นต้น

การเชื่อมประพจน์

ประพจน์ที่กล่าวไปในข้างต้นนั้นเป็นประพจน์เชิงเดี่ยว ซึ่งเราสามารถหาค่าความจริงของประพจน์นั้นได้โดยตรง อย่างไรก็ตาม เราสามารถสร้างประพจน์ใหม่ขึ้นมาจากประพจน์เชิงเดี่ยวเช่น สุนัขเป็นสัตว์สี่ขาและแมวสามารถบินได้ จะเห็นได้ว่า สุนัขเป็นสัตว์สี่ขา คือประพจน์เชิงเดี่ยวที่มีค่าความจริงเป็นจริง และ แมวสามารถบินได้เป็นประพจน์เชิงเดี่ยวที่มีค่าความจริงเป็นเท็จ และทั้งสองประพจน์นี้ถูกเชื่อมกันด้วย “และ” โดยประพจน์ที่เกิดจากการเชื่อมของประพจน์เชิงเดี่ยวนี้จะเรียกว่า ประพจน์เชิงประกอบ

ในที่นี้เราสามารถแบ่งการเชื่อมประพจน์ออกเป็นสี่แบบด้วยกันคือ

1. “และ” เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย Λ

เมื่อให้ p, q และ r เป็นประพจน์ใดๆ และ ค่าความจริงที่เป็น “จริง” และ “เท็จ” เขียนแทนด้วย T และ F ตามลำดับ จะได้ว่า ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบใดๆที่เชื่อมด้วย “และ” (pΛq) จะมีค่าความจริงเป็น จริง กรณีเดียวเท่านั้น นั่นคือ ทั้ง p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง ตารางค่าความจริงของ pΛq สามารถเขียนได้ดังนี้

p q pΛq
T T T
T F F
F T F
F F F

2. “หรือ” เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย ν

ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบใดๆที่เชื่อมด้วย “หรือ” (pνq) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ กรณีเดียวเท่านั้น นั่นคือ ทั้ง p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ ตารางค่าความจริงของ pvq สามารถเขียนได้ดังนี้

p q pνq
T T T
T F T
F T T
F F F

3. “ถ้า …… แล้ว” เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย → ยกตัวอย่างเช่น ถ้า p แล้ว q เขียนเทนด้วย p→q

ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบใดๆที่เชื่อมด้วย “ถ้า แล้ว” (p→q) จะมีค่าความจริงเป็น เท็จ กรณีเดียวเท่านั้น นั่นคือ คือ p เป็นจริง และ q เป็นเท็จตารางค่าความจริงของ p→q สามารถเขียนได้ดังนี้

p q p→q
T T T
T F F
F T T
F F T

4. “ก็ต่อเมื่อ” เขียนสัญลักษณ์แทนด้วย ↔

ค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบใดๆที่เชื่อมด้วย “ก็ต่อเมื่อ” (p↔q) จะมีค่าความจริงเป็น จริง  เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเหมือนกัน (เป็น เท็จ  เมื่อ p และ q มีค่าความจริงต่างกัน)  ตารางค่าความจริงของ p↔q สามารถเขียนได้ดังนี้

p q p↔q
T T T
T F F
F T F
F F T

ข้อสังเกตในการหาค่าความจริงของประพจน์เชิงประกอบ
1.  ประพจน์เชิงประกอบที่เกิดจากการเชื่อมกันของประพจน์เชิงเดี่ยวจำนวน n ประพจน์ การหาค่าความจริงของประพจน์นี้จะแบ่งได้เป็นทั้งหมด 2n กรณี ยกตัวอย่างเช่น r→(pΛq) สามารถแยกคิดได้ทั้งหมด 23 = 8 กรณีดังนี้

p q r pΛq r→(pΛq)
T T T T T
T T F T T
T F T F F
T F F F T
F T T F T
F T F F T
F F T F F
F F F F T

2.  จากการที่ค่าความจริงของ p→q มีค่าความจริงเป็น เท็จ กรณีเดียว (p เป็นจริง q เป็นเท็จ) ดังนั้นเราจะสังเกตได้ว่า

2.1 เมื่อเราทราบว่า p เป็นเท็จ จะสรุปได้ว่า p→q เป็นจริงเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า q มีค่าความจริงเป็นอะไร

2.2 เมื่อเราทราบว่า q เป็นจริง จะสรุปได้ว่า p→q เป็นจริงเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า p มีค่าความจริงเป็นอะไร

 

3.  จากการที่ค่าความจริงของ pΛq มีค่าความจริงเป็น จริง กรณีเดียว (p และ q เป็นจริงทั้งคู่) ดังนั้นเราจะสังเกตได้ว่า

3.1 เมื่อเราทราบว่า p เป็นเท็จ จะสรุปได้ว่า pΛq เป็นเท็จเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า q มีค่าความจริงเป็นอะไร

3.2 เมื่อเราทราบว่า q เป็นเท็จ จะสรุปได้ว่า pΛq เป็นเท็จเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า p มีค่าความจริงเป็นอะไร

 

4.  จากการที่ค่าความจริงของ pνq มีค่าความจริงเป็น เท็จ กรณีเดียว (p และ q เป็นเท็จทั้งคู่) ดังนั้นเราจะสังเกตได้ว่า

4.1 เมื่อเราทราบว่า p เป็นจริง จะสรุปได้ว่า pνq เป็นจริงเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า q มีค่าความจริงเป็นอะไร

4.2 เมื่อเราทราบว่า q เป็นจริง จะสรุปได้ว่า pνq เป็นจริงเสมอ โดยที่ไม่จำเป็นต้องรู้ว่า p มีค่าความจริงเป็นอะไร

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s